布朗运动是1827年由英国科学家布朗发现的。这是一种广泛存在的现象。我听过量子计算科学家潘建伟的讲座，他对布朗运动也有一些看法。而我自己，是从中学教科书中知道布朗运动的。
对布朗运动的研究，有几个历史上不得不提的人物。
一个是爱因斯坦。在1905年（爱因斯坦年），爱因斯坦首先使用概率方法对一维布朗运动进行了定量研究，从热分子运动扩散方程推导出了大量布朗粒子在t时刻位置{x1(t)，x2(t)，x3(t)，……}服从正态分布的性质。
1908年，法国物理学家通过实验证明了爱因斯坦的上述分析的正确性，并通过实验证明了原子的存在，还精确求出了物理上著名的阿伏伽德罗常数。他后来获得了诺贝尔奖。
接下来要提的人物，是维纳。正是维纳滤波的维纳。学习数学、EE专业（电子、通信、自动化）的人都知道维纳。18岁的维纳从哈佛毕业之后，来到英国剑桥大学。维纳在阅读完爱因斯坦关于布朗运动的研究论文后发现，爱因斯坦研究的是大量布朗粒子随机运动的统计规律，而没有涉及单个布朗微粒运动轨迹的数学性质。与爱因斯坦关注大量质点的统计行为不同，维纳关心的是“一个质点所走曲线的数学性质”。维纳将单个布朗粒子的位移x(t)抽象为随机变量，并用随机变量的正态分布特性来描述一个布朗粒子的运动规律，得出了“布朗粒子位移服从正态分布”、“布朗粒子位移与时间的平方根成正比”和“布朗运动样本轨道处处不可导（瞬时速度无穷大）”等著名论断【注1】。
维纳过程（有时也称布朗运动）可是随机过程中著名的过程。我上博士课程时，维纳过程处在教科书的前半部分。按照美国科学界的观点，一个研究是否处于前沿，不是看它发了多少Nature/science/cell，而是它处于教科书的前几页。越前，则代表越属于基础研究。
2010年，李统藏在science发文，其发现：布朗运动的导数（瞬时速度）不仅存在，而且可观测，并颠覆了维纳“布朗运动样本轨道处处不可导（瞬时速度无穷大）”的著名论断。这颠覆了随机过程的基本原理。我学习随机过程的时间在2010年之后，但是教科书仍然未涉及李统藏的内容。也许，教科书的更改，还需要时间和历史的检验和同行对新事物的广泛认可。
尽管如此，在我看来，维纳过程的“布朗运动样本轨道处处不可导（瞬时速度无穷大）”的著名论断，依然是非常让人震惊和优雅的理论。在今天的神经网络中，由于使用反向传播机制，网络必须可微可导。这有两大不足。（1）求导/求梯度机制在一些Nature/Science的文章中，被认为与人类大脑学习过程有所不同。而不可导、不可微，才符合人类神经网络。例如有人提出把激活层改成脉冲，提出脉冲神经网络。假设未来神经网络能够做到处处不可导，人工神经网络才是真正的与人类神经网络一致。人工智能才能和人类智能一致 。（2）处处可微、处处可导，导致人工神经网络极易受到对抗攻击。也就是通过反向传播（误导的损失函数或梯度上升），只需要往原图加上一些与梯度（相关的扰动，就能够使模型输入错误的结果。而人类并不会被这样的扰动所欺骗。
那么，既然我十分认可维纳过程，这是否意味着，我不能接受李统藏的实验呢？正好相反。我认为李的实验十分有意义。完全实现处处不可导，也许我们并不能实现这样的算法。但是，李的实验告诉我们，也许我们可以通过李的模型，对处处不可能进行近似逼近。这样，我们就可以利用算法实现一个类似于布朗运动/维纳过程的神经网络。
【注1】此部分参考了超级数学建模公众号的内容《物理学实验颠覆维纳“布朗运动处处不可导”著名论断》。
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